Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена

Определение. Степенной ряд вида:

(10.8)

где функция определена в некой округи точки и имеет в этой округи производные всех порядков, именуется рядом Тейлора функции в округи .

Определение. Личный вид ряда Тейлора при

(10.9)

именуется рядом Маклорена.

Аксиома. Пусть - внутренняя точка интервала сходимости ряда Тейлора

функции , тогда .

Другими словами, в каждой таковой точке ряд Тейлора функции Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена сходится к значению функции.

Разложение функций в ряд Тейлора можно получить, исходя из узнаваемых разложений. При всем этом можно делать последующие деяния над степенными рядами снутри их интервала сходимости:

1) два степенных ряда можно почленно ложить и множить (по правилу умножения многочленов);

2) степенной ряд можно почленно помножить на общий множитель;

3) степенной ряд Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена можно почленно интегрировать и дифференцировать хоть какое число раз.

Приведём ряды Маклорена более нередко встречающихся функций:

(10.10)

(10.11)

(10.12)

(10.13)

(10.14)

(10.15)

Применение степенных рядов к приближённым вычислениям

Для приближённого вычисления значения функции с помощью ряда следует: 1) по данному числовому выражению подобрать подходящую функцию; 2) отыскать подходящую точку, в какой эта функция может быть разложена Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена в ряд Тейлора. При всем этом интересующее нас значение должно являться значением этого ряда Тейлора в некой точке интервала сходимости; 3) пользуясь прошлыми пт, получить для интересующего нас числового выражения ряд, с помощью которого отыскать приближённое значение.

Пример 88.Вычислить с точностью e = 0,001.

Решение. При вычислении корней воспользуемся биномиальным рядом (10.13). Разумеется Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена, что , но выбор в качестве х = 33 неосуществим, т.к.

33 Ï (– 1; 1). Преобразуем подкоренное выражение последующим образом: . Таким макаром, х = 0,0625. Используя биномиальный ряд, получаем:

Потому что ряд знакочередующийся и , то по признаку Лейбница , и для получения требуемой точности довольно взять 1-ые два члена ряда, как следует , . Тогда .

Пример 89. Вычислить sin70 с точностью Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена e = 0,01.

Решение. Для вычисления значений тригонометрических функций нужно градусное измерение аргумента перевести в круговое:

10 » 0,01745 рад, 70 » 0,122 рад, потому, используя ряд (10.11), получим:

Для заслуги подходящей точности довольно взять один член ряда, потому что . Тогда sin70 ≈ 0,122≈0,12.

Пример 90.Вычислить с точностью e = 0,001.

Решение. . Воспользуемся рядом (10.10) и, положив , получим:

Потому что ряд знакочередующийся, то, ввиду признака Лейбница Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена и того, что , то довольно ограничиться первыми 4-мя членами ряда: .

Пример 91.Вычислить ln1,4 с точностью e = 0,01.

Решение. Для вычисления логарифмов можно пользоваться рядом (10.14):

Для заслуги данной точности довольно взять 1-ые три члена ряда, т.к. . Тогда ln1,4 » 0,4 – 0,08 + 0,021 = 0,341 » 0,34.

Теория вероятностей и математическая статистика

Элементы комбинаторики

При решении ряда теоретических Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена и практических задач требуется из конечного огромного количества частей по данным правилам составлять разные композиции и создавать подсчет числа всех вероятных таких композиций. Такие задачки принято именовать комбинаторными.

Комбинаторика обширно применяется в теории вероятностей.

Определение. Упорядоченные подмножества данного конечного огромного количества именуются размещениями.

Два разных размещения из частей данного огромного количества отличаются Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена друг от друга или составом частей, или порядком их расположения. Если число частей огромного количества n, а число частей подмножества m, то число всех вероятных размещений из n частей по m (0 £ m £ n) обозначают .

, (11.1)

где по определению (n! – эн факториал).

Пример 92. В высшей лиге по футболу 18 команд Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Борьба идёт за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими методами медали могут быть

распределены меж командами?

Решение. Ясно, что призовые тройки могут отличаться не только лишь составом команд, да и рассредотачиванием посреди этих команд медалей, означает, это будут размещения из 18 команд по 3 (размещения из 18 частей по 3). Число всех таких размещений:

Ответ Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена: 4896 разными методами.

Определение. Перестановкой из n частей именуется размещение из n частей поn.

Получаемые при всем этом упорядоченные огромного количества отличаются друг от друга только порядком расположения входящих в их частей. Если огромное количество состоит из n частей, то число всех вероятных перестановок обозначают : = n ! (11.2)

Пример 93. Сколькими методами можно расставить на одной Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена полке 6 разных книжек?

Решение. Разыскиваемое число методов равно числу перестановок из 6 частей, т.е. = 6 ! = 1×2×3×4×5×6 = 720.

Ответ: 720 разными методами.

Определение. Произвольные неупорядоченные подмножества данного

огромного количества именуются сочетаниями.

Два сочетания будут разными, если они отличаются хотя бы одним элементом (т.е. составом частей, а порядок расположения частей не важен). Если n- число частей Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена огромного количества, а m - число частей подмножества (m £ n), то число разных сочетаний из n частей по m частей обозначают :

(11.3)

Пример 94. В бригаде из 25 человек необходимо выделить четырёх для работы на определённом участке. Сколькими методами это можно Сделайте?

Решение. Потому что разные группы из четырёх человек будут отличаться только только составом Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена, то их число:

.

Ответ: 12650 методами.


razgovorvi-natalya-vasileva-natalya-nekrasova.html
razgovorxv-natalya-vasileva-natalya-nekrasova.html
razgranichenie-kompetencii-mezhdu-rf-i-subektami-v-sootvetstvii-s-konstituciej-rf.html