Разложение на множители суммы и разности кубов

Для разложения на множители суммы кубов необходимо использовать одну из формул сокращенного умножения. Она имеет заглавие «сумма кубов»:
a^3 +b^3 = (a+b)*(a^2 – a*b +b^2);

Сумма кубов

Мы можем проверить это тождество. Для этого Разложение на множители суммы и разности кубов перемножим два многочлена стоящих в правой части тождества (a+b) и (a^2 – a*b +b^2). Воспользуемся правилом умножения многочленов и перемножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Имеем Разложение на множители суммы и разности кубов:

(a+b)*(a^2 – a*b +b^2) =a^3 – a^2*b + a*b^2 + a^2*b – a*b^2 + b^3;

Сейчас приводим подобные и получаем:

(a+b)*(a^2 – a*b +b^2) = a^3 + b^3;

Что и требовалось Разложение на множители суммы и разности кубов обосновать.

Может быть, что вы уже направили внимание на множитель (a^2 – a*b +b^2). Он похож на трехчлен, который выходит при строительстве в квадрат выражения (a-b). Отличие только в Разложение на множители суммы и разности кубов том, что в этом случае, заместо двойного произведения стоит просто произведение. Такое выражение a^2 – a*b +b^2 в арифметике принято именовать неполным квадратом разности 2-ух выражений.

Исходя из всего вышесказанного, можем подвести последующий результат Разложение на множители суммы и разности кубов:
Сумма кубов всех 2-ух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат разности этих 2-ух выражений.

Тождество для разности кубов

Для разности кубов, тоже существует свое тождество.

a^3 -b^3 = (a Разложение на множители суммы и разности кубов-b)*(a^2 + a*b +b^2);

Данное выражение доказывается аналогично предшествующему.

(a-b)*(a^2 + a*b +b^2) = a^3 + a^2*b + a*b^2 - a^2*b – a*b^2 - b^3 = a^3 – b^3;

Трехчлен (a^2 + a*b +b^2) именуется Разложение на множители суммы и разности кубов в арифметике неполный квадрат суммы 2-ух выражений.
Беря во внимание всё вышеупомянутое, подведем результат:

Разность кубов 2-ух всех выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат суммы этих 2-ух выражений.

Примеры Разложение на множители суммы и разности кубов

Разглядим несколько примеров.

Пример 1.

Разложить многочлен x^3 + 8*y^3 на множители.

x^3 + 8*y^3 = x^3 + (2*y)^3;

Сейчас можем применить формулу куб суммы.

x^3 + (2*y)^3 = (x + 2*y)*(x^2 – 2*x*y +4*y^2);

В Разложение на множители суммы и разности кубов конечном итоге имеем: x^3 + 8*y^3 = (x + 2*y)*(x^2 – 2*x*y +4*y^2);

Пример 2.

Разложить многочлен x^6 – y^3 на множители.

x^6 – y^3 = (x^2)^3 – y^3;

А сейчас можем пользоваться тождеством разности кубов 2-ух выражений.

(x^2)^3 – y^3 = (x^2 – y Разложение на множители суммы и разности кубов)*(x^4 + x^2*y +y^2);

В конечном итоге имеем: x^6 – y^3 = (x^2 – y)*(x^4 + x^2*y +y^2);


razgruzochnie-zheleznodorozhnie-estakadi.html
razgul-stenki-razina-na-volge-7-glava.html
razigrivanie-sluchajnoj-velichini.html