Разложение в ряд Маклорена простейших функций

(1+x)m=1+ + + +

+…+ .

Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: а) вычисление значений функции; б) вычисление ОИ; в) решение диф. Уравнений

Функции

Продемонстрируем описанный способ на примере уравнения Кеплера

y = a + x sin y,

играющего важную роль в астрономии. Тут y - эксцентрическая аномалия планетки, a - ее средняя аномалия, x - эксцентриситет орбиты планетки. Считая y Разложение в ряд Маклорена простейших функций неведомой функцией от x, будем находить ее в виде

y = c0 + c1x + c2x2 + _

Разложив sin y по формуле (5) в ряд Тейлора по степеням y и подставив заместо y ряд (6), после возведения этого ряда в степени и приведения схожих членов получим

Из этого равенства, приравняв коэффициенты при схожих степенях x слева и справа Разложение в ряд Маклорена простейших функций, найдем поочередно неведомые

и саму функцию

Подтверждено, что это разложение правильно при | x | < < 0,6627_

2 Требуется вычислить интеграл: .

Разложим подынтегральную функцию в ряд:из равенства получаем

это сходящийся ряд и мы его можем интегрировать почленно:

Пусть a=0,8, тогда

3приближенного решения дифференциальных уравнений, обычных и с личными производными. Не вдаваясь в сложные Разложение в ряд Маклорена простейших функций теоретические обоснования, разглядим дифференциальное уравнение Бесселя

x2y" + xy' + (x2 - n2)y = 0,

где n - неизменная (необязательно целая), x - независящая переменная, а y = y(x) - разыскиваемая функция. Решения этого уравнения, именуемые функциями Бесселя, отыскали применение фактически во всех областях современного естествознания.

Будем находить y в виде обобщенного степенного ряда

где p, ak - неведомые неизменные, при Разложение в ряд Маклорена простейших функций этом a0 ? 0. Дифференцируя этот ряд два раза под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y', y" в уравнение (7). Потом создадим приведение схожих членов, и коэффициенты приобретенного ряда приравняем нулю. После чего получим нескончаемую систему уравнений

a0(p2 - n2) = 0, a1[(p + 1)2 - n2] = 0, ak[(p + k Разложение в ряд Маклорена простейших функций)2 - n2] + ak - 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,

откуда находим p = ? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,

В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), надлежащие значениям p = n и p = - n, являются линейно-независимыми и хоть какое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1 , c2 - неизменные Разложение в ряд Маклорена простейших функций. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только неизменным множителем, потому определяют только одно из 2-ух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.

50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций данных на [- ], [0,2 ], [-l,l], также чётных и нечётных функций, функций данных на [0, ]

Ряд Фурье — представление случайной функции f с периодом Разложение в ряд Маклорена простейших функций τ в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде .

Где Ak — амплитуда k-го гармонического колебания,

— радиальная частота гармонического колебания,

θk — исходная фаза k-го колебания, — k-я всеохватывающая амплитуда

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье Разложение в ряд Маклорена простейших функций находим формулы:

= ; =

= 0 , где n=1,2, ...

Таким макаром, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L смотрится так: Пусть сейчас f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где Разложение в ряд Маклорена простейших функций n=1,2, ...Таким макаром, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L смотрится так:

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где ,

, ,

Рядом Фурье для функции в интервале именуется тригонометрический Разложение в ряд Маклорена простейших функций ряд

, (6)

где коэффициенты ряда , , (n=1, 2, 3,…) рассчитываются по формулам Фурье:

; (n=1, 2, 3,…); (n=1, 2, 3,…). (9)


razlichenie-dobra-i-zla-sofronij-saharov-shiarhimandrit-prepodobnij-siluan-afonskij.html
razlichenie-sobitij-mislej-i-chuvstv.html
razlichie-fin-i-uprav-go-ucheta.html